Question

已知函数，，其中．

（1）若是函数的极值点，求实数的值；

（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围．

【解析】（1）根据建立关于a的方程求a即可.

（2）本题要分别求出f(x)在[1,e]上的最小值，g(x)在[1，e]上的最大值，然后

,解关于a的不等式即可.

 

Answer 1

【答案】

∵，其定义域为，  

∴．                                  1分

∵是函数的极值点，∴，               2分

即．                                           3分

∵，∴．                                    4分

（2） 对任意的都有≥成立等价于对任意的

都有≥．                            5分

当［1，］时，．

∴函数在上是增函数．

∴．                              6分

∵，且，．

①当且［1，］时，，

∴函数在［1，］上是增函数，

∴.       7分

由≥，得≥，又，∴不合题意．

②当1≤≤时，若1≤＜，则，

若＜≤，则．

∴函数在上是减函数，在上是增函数．

∴.          

由≥，得≥，又1≤≤，∴≤≤．            8分          

③当且［1，］时，，

∴函数在上是减函数．∴.     

由≥，得≥，又，∴．         9分

综上所述，的取值范围为．