Question

17．如图，AB=38米，从点A发出的光线经水平放置于C处的平面镜（大小忽略不计）反射后过点B，已知AC=10米，BC=42米．
（1）求光线AC的入射角θ（入射光线AC与法线CK的夹角）的大小；
（2）求点B相对于平面镜的垂直距离BE与水平距离CE的长．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中利用余弦定理求出cos2θ，即可得出θ的大小；
（2）在△BCE中利用三角函数定义计算．

解答 解：（1）由光的反射定律，∠ACK=∠BCK=θ，∠ACB=2θ．
在△ABC中，根据余弦定理，得$cos∠ACB=cos2θ=\frac{{A{C^2}+B{C^2}-A{B^2}}}{2AC\;•\;BC}$=$\frac{{{{10}^2}+{{42}^2}-{{38}^2}}}{2×10×42}=\frac{1}{2}$．
∵0＜2θ＜π，
∴$2θ=\frac{π}{3}$，$θ=\frac{π}{6}$，
即光线AC的入射角θ的大小为$\frac{π}{6}$．
（2）由（1）知$∠CBE=∠BCK=θ=\frac{π}{6}$，
∴$BE=BCcos∠CBE=42cos\frac{π}{6}=21\sqrt{3}$（米），$CE=BCsin∠CBE=42sin\frac{π}{6}=21$（米），
即点B相对于平面镜的垂直距离BE与水平距离CE的长分别为$21\sqrt{3}$米、21米．

点评 本题考查了余弦定理，解三角形的应用，属于基础题．