Question

已知点是离心率为的椭圆C：上的一点．斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据点是离心率为的椭圆C上的一点，建立方程，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线方程代入椭圆方程，计算出三角形的面积，利用基本不等式，可得结论．
解答：解：（Ⅰ）∵，，a²=b²+c²
∴a=2，，
∴椭圆方程为．…（5分）
（Ⅱ）设直线BD的方程为
由，消去y可得
∴，，
由△=-8b²+64＞0，可得
∴，
设d为点A到直线BD：的距离，∴
∴，
当且仅当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为．…（12分）
点评：本小题主要考查椭圆的方程的求法，考查弦长公式的应用和利用均值不等式求最值的方法，考查思维能力、运算能力和综合解题的能力．