题目内容
(本小题满分13分)
如图,已知椭圆的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的
左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭
圆的焦点,设为该双曲线上异于顶点的任一点,直线和与椭圆的交点
分别 为和
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;
(Ⅱ)设直线、的斜率分别为、,证明;
(Ⅲ)是否存在常数,使得恒成立?
若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(Ⅰ)由题意知,椭圆离心率为,得,又,所以可解得,,所以,所以椭圆的标准方程为;所以椭圆的焦点坐标为(,0),因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为。
(Ⅱ)设点P(,),则=,=,所以=,又点P(,)在双曲线上,所以有,即,所以=1。
(Ⅲ)假设存在常数,使得恒成立,则由(Ⅱ)知,所以设直线AB的方程为,则直线CD的方程为,由方程组消y得:,设,,
则由韦达定理得:
所以|AB|==,同理可得
|CD|===,
又因为,所以有=+
=,所以存在常数,使得恒成
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