题目内容
【题目】平面内与两定点
，
连线的斜率之积等于
的点的轨迹，加上
、
两点所成的曲线为
.若曲线与
轴的正半轴的交点为
，且曲线上的相异两点
、
满足
.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）求
面积
的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）首先设出
，根据斜率之积等于
得到
，再化简即可得到曲线
的轨迹方程.
（2）分别讨论
的斜率存在和不存在时，根据
，设出直线方程与椭圆联立，利用根系关系得到直线恒过
，再将
面积转化为
，利用根系关系和对勾函数的单调性即可得到面积的最大值.
（1）设曲线上任意一点，
，
，
，
整理得：
.
又曲线加上
，
两点，所以曲线的方程是：.
（2）由题意可知
，设
，
，
当的斜率存在时，设直线：
，
联立方程组：
，得到
，
则
，
.
，
，
因为，所以有
，
，
，
化简得到
，解得：
或
（舍）.
当的斜率不存在时，
易知满足条件的直线为：
.
因此，直线恒过定点.
所以
，
，
因为，所以
.
设
，
.
由对勾函数的单调性得到
在
为增函数，
所以
.
即：
（
时取到最大值）.
所以
面积
的最大值为.
【题目】某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数
与烧开一壶水所用时间
的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.
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1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中
，
.
（1）根据散点图判断，
与
哪一个更适宜作烧开一壶水时间关于开关旋钮旋转的弧度数
的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；
（3）若旋转的弧度数与单位时间内煤气输出量
成正比，那么为多少时烧开一壶水最省煤气？
附：对于一组数据
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
.
【题目】2020年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年,也是佛山在经济总量超万亿元新起点上开启发展新征程的重要历史节点.作为制造业城市,佛山一直坚持把创新摆在制造业发展全局的前置位置和核心位置,聚焦打造成为面向全球的国家制造业创新中心,走“世界科技+佛山智造+全球市场”的创新发展之路.在推动制造业高质量发展的大环境下,佛山市某工厂统筹各类资源,进行了积极的改革探索.下表是该工厂每月生产的一种核心产品的产量x（
）（件）与相应的生产总成本y（万元）的四组对照数据.
x | 5 | 7 | 9 | 11 |
y | 200 | 298 | 431 | 609 |
工厂研究人员建立了y与x的两种回归模型,利用计算机算得近似结果如下：
模型①：
模型②：
.
其中模型①的残差（实际值－预报值）图如图所示：
（1）根据残差分析,判断哪一个模型更适宜作为y关于x的回归方程？并说明理由；
（2）市场前景风云变幻,研究人员统计历年的销售数据得到每件产品的销售价格q（万元）是一个与产量x相关的随机变量,分布列为：
q |
|
|
|
P | 0.5 | 0.4 | 0.1 |
结合你对（1）的判断,当产量x为何值时,月利润的预报期望值最大？最大值是多少（精确到0.1）？
