题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，圆
的参数方程为
（
为参数），直线
的参数方程为
（
为参数），设原点
在圆的内部，直线与圆交于
、
两点；以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线和圆的极坐标方程，并求
的取值范围；
（2）求证：
为定值.
【答案】（1）
；
；
的取值范围是
（2）证明见解析；
【解析】
（1）消参可得直线
的直角坐标方程，利用直角坐标与极坐标的互化可得直线和圆
的极坐标方程，根据原点在圆的内部可得
，解不等式即可.
（2）将直线的极坐标方程代入圆的极坐标方程可得
，由
，利用韦达定理即可求解.
解（1）将直线的参数方程化为直角坐标方程，得
，
所以直线的极坐标方程为
；
将圆的参数方程化为直角坐标方程，得
，
所以圆的极坐标方程为
.
由原点
在圆的内部，得，解得
，
故的取值范围是
.
（2）将
代入，
得.
则
，
，
所以
，
故
为定值.
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