Question

【题目】如图所示，四棱柱中，底面是以为底边的等腰梯形，且.

（I）求证：平面平面；

（Ⅱ）若，求直线AB与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）要证明平面平面，只需证明平面即可；

（Ⅱ）取BD的中点O，易得面ABCD，以O为原点，分别以为的非负半轴建立空间直角坐标系，计算平面的法向量为与，再利用公式计算即可.

（Ⅰ）中，，，，由余弦定理得

，

则，即，

而，故平面，

又面ABCD，所以平面平面ABCD.

（Ⅱ）取BD的中点O，由于，所以，

由（Ⅰ）可知平面面ABCD，故面ABCD.

由等腰梯形知识可得，则，，

以O为原点，分别以为的非负半轴建立空间直角坐标系，

则，

则

设平面的法向量为，则，

令，则，有，

所以，，

即直线AB与平面所成角的正弦值为.

【点晴】

本题考查面面垂直的证明、向量法求线面角，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.