Question

已知f(x)是定义在[－1，1]的奇函数，且f(1)＝1，若a、b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有 (1) 判断函数f(x)在[－1，1]上是增函数还减函数，并证明你的结论； (2) 解不等式 (3) 若f(x)≤m2－2am+1，对所有x∈[－1，1]，a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：证明：设x1，x2∈[—1，1]，且x1＜x2，在中，令a＝x1，b＝—x2，有＞0，∵x1＜x2，∴x1－x2＜0(文7分) 又∵f(x)是奇数，∴f(－x2)＝－f(x2)∴＞0∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． 故f(x)在[－1，1]上为增函数．……(文13分)(理7分)
(3)	解：∵f(1)＝1且f(x)在[－1，1]上为增函数．对x∈[－1，1]，有f(x)≤f(1)＝1．由题意，对所有的x∈[－1，1]，b∈[—1，1]，有f(x)≤m2－2bm＋1恒成立，应有m2－2bm＋1≥1m2－2bm≥0．记g(b)＝－2mb＋m2，对所有的b∈[－1，1]，g(b)≥成立．只需g(b)在[－1，1]上的最小值不小于零． 若m＞0时，g(b)＝－2mb＋m2是减函数，故在[－1，1]上，b＝1时有最小值，且[g(b)]最小值＝g(1)＝－2mb＋m2≥0m≥2； 若m＝0时，g(b)＝0这时[g(b)]最小值＝0满足已知，故m＝0； 若m＜0时，g(b)＝－2mb＋m2是增函数，故在[－1，1]上，b＝－1时有最小值， 且[g(b)]最小值＝g(－1)＝2m＋m2≥0m≤－2．] 综上可知，符合条件的m的取值范围是：m∈(－，－2∪{0}∪[2，＋