Question

6．解答下列问题：
（1）在等差数列{a_n}中，设a₁+a₂+a₃=12，且a₄+a₅+a₆=18，求a₇+a₈+a₉的值；
（2）设向量$\overrightarrow{a}$=（x，1）与$\overrightarrow{b}$=（2，4），且（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），求实数x的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用等差数列的性质列式求得a₇+a₈+a₉的值；
（2）由$\overrightarrow{a}$=（x，1），$\overrightarrow{b}$=（2，4），求得（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）与（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示列式求得实数x的值．

解答 解：（1）a₁+a₂+a₃=12，a₄+a₅+a₆=18，设a₇+a₈+a₉ =x，
由等差数列的性质得：2×18=12+x，解得：x=24．
故a₇+a₈+a₉ =24；
（2）由$\overrightarrow{a}$=（x，1），$\overrightarrow{b}$=（2，4），得
$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=（x，1）+2（2，4）=（x+4，9），
$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（x，1）-（2，4）=（x-2，-3），
∵（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），
∴（x+4）（x-2）-27=0，解得：x=-7或x=5．

点评 本题考查等差数列的性质，考查了数量积判断两个向量的垂直关系，关键是对等差数列性质、向量垂直的坐标表示的记忆与运用，是基础题．