Question

【题目】四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形， 为BC的中点，连接AE，BD，交点H，PH⊥平面ABCD，M为PD的中点．
（1）求证：平面MAE⊥平面PBD；
（2）设PE=1，求二面角M﹣AE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在矩形ABCD中，

∵△ABE～△DAB，

∴∠BAE=∠DAB，

∴∠BAB+∠ABD= ，∴BH⊥AE，

∵PH⊥平面ABCD，AE平面ABCD，

∴PH⊥AE，又∵BH∩PH=H，

BH，PH平面BPD，又∵AE平面MAE，

∴平面MAE⊥平面PBD．

（2）解：（2）由（1）知，HB，HE，HP两两垂直，

分别以HB，HE，HP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，

则A（0，﹣ ，0），E（0， ，0），P（0，0， ），C（﹣ ， ，0），

D（﹣ ，0，0），M（﹣ ，0， ），

=（ ， ，﹣ ）， =（ ，﹣ ，﹣ ），

设MAE的法向量 =（x，y，z），

则 ，

取x=1，得 =（1，0，4），

平面AEC的法向量 =（0，0，1），

设二面角M﹣AE﹣C的平面角为θ，

则cosθ= = = ，

∴二面角M﹣AE﹣C的余弦值为 ．

【解析】（1）推导出BH⊥AE，PH⊥AE，从而AE⊥平面BPD，由此能证明平面MAE⊥平面PBD．（2）由HB，HE，HP两两垂直，分别以HB，HE，HP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣AE﹣C的余弦值．
【考点精析】利用平面与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．