Question

【题目】设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当x≥4时，f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0，

得x＞﹣5，所以x≥4成立；

当﹣ ≤x＜4时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，

得x＞1，所以1＜x＜4成立；

当x＜﹣ 时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以x＜﹣5成立．

综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣5}

（2）解：令F（x）=f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|

≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，

当﹣ 时等号成立．

即有F（x）的最小值为9，

所以m≤9．

即m的取值范围为（﹣∞，9]

【解析】（1）对x讨论，分当x≥4时，当﹣ ≤x＜4时，当x＜﹣ 时，分别解一次不等式，再求并集即可；（2）运用绝对值不等式的性质，求得F（x）=f（x）+3|x﹣4|的最小值，即可得到m的范围．