Question

【题目】已知函数f（x）=lnx+ ﹣1，a∈R．
（1）若关于x的不等式f（x）≤ x﹣1在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（2）设函数g（x）= ，若g（x）在[1，e2]上存在极值，求a的取值范围，并判断极值的正负．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）≤ x﹣1，即lnx+ ﹣1≤ x﹣1，

即a≤﹣xlnx﹣ x2在[1，+∞）上恒成立，

设函数m（x）=﹣xlnx﹣ x2，x≥1，

m′（x）=﹣lnx+x﹣1，设n（x）=﹣lnx+x﹣1，

n′（x）=﹣ +1，由x≥1时，n′（x）≥0，

∴n（x）在[1，+∞）单调递增，且n（x）≥n（1）=0，

即m′（x）≥m′（1）=0，对x∈[1，+∞）恒成立，

∴m（x）在[1，+∞）上单调递增，

当x∈[1，+∞）时，m（x）≥m（x）min=m（1）= ，

∴a≤ ，

∴a的取值范围是（﹣∞， ]

（2）解：g（x）= = + ﹣ ，x∈[1，e2]，

求导g′（x）= + ﹣ = ，

设h（x）=2x﹣xlnx﹣2a，h′（x）=2﹣（1+lnx）=1﹣lnx，

由h′（x）=0，解得：x=e，

当1≤x＜e时，h′（x）＞0，当e＜x≤e2，h′（x）＜0，

且h（1）=2﹣2a，h（e）=e﹣2a，h（e2）=﹣2a，

显然h（1）＞h（e2），

若g（x）在[1，e2]上存在极值，

则 或 ，

当 ，即1＜a＜ 时，

则必定存在x1，x2∈[1，e2]，使得h（x1）=h（x2）=0，且1＜x1＜x1＜e2，

当x变化时，h（x），g′（x），g（x）的变化如表，

x	（1，x1）	<>x1	（x1，x2）	x2	（x1，e2）
h（x）	﹣	0	+	0	﹣
g′（x）	﹣	0	+	0	﹣
g（x）	↓	极小值	↓	极小值	↓

当1＜a＜ 时，g（x）在[1，e2]上的极值为g（x1），g（x2），且g（x1）＜g（x2），

由g（x1）= + ﹣ = ，

设φ（x）=xlnx﹣x+a，其中1＜a＜ ，1≤x＜e，

则φ′（x）=lnx＞0，

∴φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）=φ（1）=a﹣1＞0，

当且仅当x=1时，取等号；

∵1＜x1＜e，g（x1）＞0，

当1＜a＜ ，g（x）在[1，e2]上的极值g（x2）＞g（x1）＞0，

当 ，即0＜a≤1时，

则必定存在x3∈（1，e2），使得h（x3）=0，

易知g（x）在（1，x3）上单调递增，在（x3，e2]上单调递减，

此时，g（x）在[1，e2]上的极大值时g（x3），即g（x3）＞g（e2）= ＞0，

当0＜a≤1时，g（x）在[1，e2]上存在极值，且极值都为正数，

综上可知：当0＜a＜ 时，g（x）在[1，e2]上存在极值，且极值都为正数

【解析】（1）由题意可知a≤﹣xlnx﹣ x2在[1，+∞）上恒成立，构造辅助函数，求导根据函数的单调性及极值的判断，即可求得m（x）在[1，+∞）上单调递增，即可求得a的取值范围；（2）g（x）= = + ﹣ ，x∈[1，e2]，若g（x）在[1，e2]上存在极值，则 或 ，分类讨论，分别构造辅助函数，根据导数与函数的关系，即可求得a的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．