Question

12．已知P为△ABC所在平面上的一点，且$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+2y$\overrightarrow{AC}$，其中x，y∈R为实数，设点M（x，y），点N（1，1），当点P落在△ABC的内部，|MN|的取值范围是（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 由P在△ABC内部可知$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{2y＞0}\\{0＜x+2y＜1}\end{array}\right.$，作出可行域，根据|MN|的几何意义求出|MN|的最大值和最小值．

解答 解：∵$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+2y$\overrightarrow{AC}$，点P落在△ABC的内部，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y＞0}\\{0＜x+2y＜1}\end{array}\right.$，
作出约束条件表示的可行域如图：
由可行域可知|MN|的最小值为N到直线x+2y=1的距离d=$\frac{|1+2-1|}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
|MN|的最大值为|ON|=$\sqrt{2}$．
故答案为（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了简单的线性规划，平面向量线性运算的几何意义，属于中档题．