Question

设{a_n}为等差数列，{b_n}为等比数列，且a₁=0，若c_n=a_n+b_n，数列{c_n}的前三项依次为1，1，2
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；  
（2）在数列{a_n}中依次抽出第1，2，4…2^n-1项组成新数列{k_n}，写出{k_n}的通项公式；
（3）设d_n=a_n-b_n，求数列{d_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）根据题意利用等差、等比数列的通项公式，建立关于{a_n}的公差d和{b_n}的公比q的方程组，解出d、q的值即可{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）由{a_n}的通项公式，将n=2^n-1代入即可得到{k_n}的通项公式；
（3）由（1）的结论得d_n=1-n-2^n-1 ，再利用等差数列与等比数列的求和公式加以计算，即可得到{d_n}的前n项和S_n的表达式．

解答：解：：（1）设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q，由题意得

d+q=1 2d+q2=2

，解得

d=1 q=0

（舍去）或

d=-1 q=2

，…（4 ）分
∴{a_n}和{b_n}的通项公式分别为a_n=1-n，b_n=2^n-1 ．  …（6）分
（2）根据题意，可得k_n=a2n-1=1-2^n-1           …（10分）
（3）∵a_n=1-n，b_n=2^n-1 ，d_n=a_n-b_n，
∴d_n=1-n-2^n-1 ，…（12分）
可得{d_n}的前n项和为
S_n=[（1-1）-2⁰]+[（1-2）-2¹]+[（1-3）-2²]+…+[（1-n）-2^n-1 ]，
=[n-（1+2++…+n）]-

1-2n

1-2

=n-

n(n+1)

2

+1-2ⁿ
=

-n2+n+2

2

-2ⁿ．…（15分）

点评：本题给出等差、等比数列满足的条件，求它们的通项公式并依此求另一个数列的前n项之和．着重考查了等差行数数列的通项公式、求和公式及其应用的知识，属于中档题．