题目内容
如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点．（1）求证：EC∥平面PAD
（2）求证：平面EAC⊥平面PBC．
考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定
专题：证明题,空间位置关系与距离
分析：（1）取线段AB的中点F，连接EF，CF，证明四边形ADCF是平行四边形，进而证明面CFE∥面PAD，即可证明EC∥平面PAD；
（2）由题意可得AC⊥PC，由AC2+BC2=AB2，可求得AC⊥BC，从而有AC⊥平面PBC，利用面面垂直的判定定理即可证得平面EAC⊥平面PBC
（2）由题意可得AC⊥PC，由AC2+BC2=AB2，可求得AC⊥BC，从而有AC⊥平面PBC，利用面面垂直的判定定理即可证得平面EAC⊥平面PBC
解答：
证明：（1）取线段AB的中点F，连接EF，CF．则AF=CD，AF∥CD，
所以四边形ADCF是平行四边形，
则CF∥AD；
又EF∥AP且CF∩EF=F，
∴面CFE∥面PAD，
又EC?面CEF，
∴EC∥平面PAD；
（2）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC，
∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=
，
∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，
∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．
证明：（1）取线段AB的中点F，连接EF，CF．则AF=CD，AF∥CD，所以四边形ADCF是平行四边形，
则CF∥AD；
又EF∥AP且CF∩EF=F，
∴面CFE∥面PAD，
又EC?面CEF，
∴EC∥平面PAD；
（2）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC，
∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=
| 2 |
∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，
∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．
点评：本题考查线面平行、面面垂直，解题的关键是掌握线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．
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