Question

如图1-3-4，已知△ABC中，AB =AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点.求证:BP²=PE·PF.

图1-3-4

 

 

Answer 1

思路解析:因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB =AC，D是BC中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连结PC，由线段垂直平分线的性质知PB =PC，只需证明△PEC∽△PCF，问题就能解决了.

图1-3-5

证明:连结PC，在△ABC中，?

∵AB =AC，D为BC中点，?

∴AD垂直平分BC.?

∴PB =PC.?

∴∠1=∠2.?

∵AB =AC，?

∴∠ABC =∠ACB.?

∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2.?

∴∠3=∠4.?

∵CF∥AB，?

∴∠3=∠F.?

∴∠4=∠F.?

又∵∠EPC=∠CPF，?

∴△PCE∽△PFC.?

∴=.?

∴PC² =PE·PF.?

∵PC =PB，?

∴PB² =PE·PF.