Question

10．若sinθ=-$\frac{3}{5}$，θ∈（-$\frac{π}{2}$，0），则2sin（2θ+$\frac{π}{3}$）=$\frac{7\sqrt{3}-24}{25}$．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosθ，利用二倍角公式求得sin2θ和cos2θ，再利用两角和的正弦公式求得2sin（2θ+$\frac{π}{3}$）的值．

解答 解：∵sinθ=-$\frac{3}{5}$，θ∈（-$\frac{π}{2}$，0），∴cosθ=$\sqrt{{1-sin}^{2}θ}$=$\frac{4}{5}$，
∴sin2θ=2sinθcosθ=2•（-$\frac{3}{5}$）•$\frac{4}{5}$=-$\frac{24}{25}$，cos2θ=2cos²θ-1=$\frac{7}{25}$，
则2sin（2θ+$\frac{π}{3}$）=2sin2θcos$\frac{π}{3}$+2cos2θsin$\frac{π}{3}$=2•（-$\frac{24}{25}$）•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{7}{25}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{7\sqrt{3}-24}{25}$，
故答案为：$\frac{7\sqrt{3}-24}{25}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，两角和的正弦公式，属于基础题．