Question

14．已知△ABC顶点A（1，-2），AB边上的高CD所在的直线方程为：x+y-2=0，AC边上的中线BE所在直线方程为：2x-y+3=0．
（I）求B点坐标；
（II）求边AC所在直线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意画出简图，由CD方程求出斜率，得到AB所在直线的斜率，得到AB所在直线方程，联立AB、BE的方程求得B的坐标；
（Ⅱ）设出C的坐标，把C的坐标代入CD方程，再由中点坐标公式求出AC中点E的坐标，把E的坐标代入BE方程，联立方程组求出C的坐标，再由直线方程的两点式得答案．

解答 解：（Ⅰ）如图，
由AB边上的高CD所在的直线方程为：x+y-2=0，得k_CD=-1，则k_AB=1，
又A（1，-2），∴AB：y+2=1×（x-1），即x-y-3=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{2x-y+3=0}\end{array}\right.$，解得B（-6，-9）；
（Ⅱ）设C（m，n），则m+n-2=0，
AC中点E（$\frac{m+1}{2}，\frac{n-2}{2}$），则$2×\frac{m+1}{2}-\frac{n-2}{2}-2=0$，即2m-n=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{2m-n=0}\\{m+n-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{2}{3}}\\{n=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，∴C（$\frac{2}{3}，\frac{4}{3}$）．
∴AC所在直线方程为$\frac{y+2}{\frac{4}{3}+2}=\frac{x-1}{\frac{2}{3}-1}$，即10x+y-8=0．

点评 本题考查直线的方程的求法，考查两直线位置关系及中点坐标公式的应用，是中档题．