Question

13．如图，△ABC内接于直径为BC的圆O，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点M，∠BAC的平分线分别交圆O和BC于点D，E，若MA=$\frac{5}{2}$MB=15．
（Ⅰ）求证：AC=$\frac{5}{2}$AB；
（Ⅱ）求AE•DE的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过证明△ABP∽△CAP，然后证明AC=$\frac{5}{2}$AB；
（Ⅱ）利用切割线定理以及相交弦定理直接求AE•DE的值．

解答 （Ⅰ）证明：因为AM是圆O的切线，所以∠MAB=∠ACB，且∠M是公共角，
所以△ABM～△CAM，所以$\frac{AC}{AB}=\frac{AM}{MB}=\frac{5}{2}$，所以$AC=\frac{5}{2}AB$（5分）
（Ⅱ）解：由切割线定理得MA²=MB•MC，所以$MC=\frac{75}{2}$，
又MB=6，所以$BC=\frac{63}{2}$
又AD是∠BAC的角平分线，所以$\frac{AC}{AB}=\frac{CE}{BE}=\frac{5}{2}$，
所以$CE=\frac{5}{2}BE$，所以$CE=\frac{45}{2}$，BE=9．
所以由相交弦定理得AE•DE=CE•$BE=\frac{25}{2}×9=\frac{405}{2}$（10分）

点评 本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定及切线性质的应用．属于中档题．