题目内容
如图，在
轴上方有一段曲线弧
，其端点
、
在轴上（但不属于），对上任一点
及点
，
，满足：
．直线
，
分别交直线
于
，
两点．
（1）求曲线弧的方程；
（2）求
的最小值（用
表示）；
（3）曲线上是否存点，使
为正三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
解：（1）由椭圆的定义，曲线是以，为焦点的半椭圆，
. ……………………………………………1分
∴的方程为
. ……………………………………………3分
（注：不写区间“
”扣1分）
（2）解法1：由（1）知，曲线的方程为，设
，
则有
， 即 
……① ………………………………4分
又
，
，从而直线
的方程为
AP：
； BP：
……………5分
令
得，的纵坐标分别为
； 
.
∴ 
……② ………………………………………7分
将①代入②， 得 
.
∴ 
.
当且仅当
，即
时，取等号．
即的最小值是
. ……………………………………………9分
解法2：设
，则由
三点共线，得
．．①
同理，由
三点共线得：
…② …………………5分
由①×②得：
.
由
，代入上式，
.
即
. …………………………………………………………7分
，
当且仅当
，即
时，取等号．
即的最小值是 . ………………………………………………9分
（3）设，依题设，直线
∥
轴，若为正三角形，则必有
，…………………………………………………10分
从而直线的斜率存在，分别设为
、
，由（2）的解法1知，
； 
， ……………………………11分
于是有 
， 而，矛盾.………………………13分
∴不存在点Ｐ，使为正三角形． ……………………………………………14分
注:如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分.
状元及第系列答案
同步奥数系列答案
如图，在x轴上方有一段曲线弧Γ，其端点A、B在x轴上（但不属于Γ），对Γ上任一点P及点F1（-1，0），F2（1，0），满足：
如图，在x轴上方有一段曲线弧Γ，其端点A、B在x轴上（但不属于Γ），对Γ上任一点P及点F1（-1，0），F2（1，0），满足：
如图，在x轴上方有一段曲线弧C，其端点A、B在x轴上（但不属于C），对C上任一点P及点F1（-1，0），F2（1，0），满足：
轴上方有一段曲线弧
，其端点
、
在
及点
，
，满足：
．直线
，
分别交直线
于
，
两点．
，求证：
；
的最小值．