Question

如图，在x轴上方有一段曲线弧C，其端点A、B在x轴上（但不属于C），对C上任一点P及点F₁（-1，0），F₂（1，0），满足：|PF1|+|PF2|=2

2

．直线AP，BP分别交直线l：x=a（a＞

2

）于R，T两点．
（Ⅰ）求曲线弧C的方程；
（Ⅱ）求|RT|的最小值（用a表示）．

Answer 1

分析：（ I）由题意知曲线弧C是以F₁、F₂为焦点的半椭圆，根据椭圆的定义写出椭圆的标准方程；
（ II）设曲线C上的点P为（x₀，y₀），由点斜式写出直线AP，BP的方程，令x=a得R，T的纵坐标y_R、y_T；求|RT|=|y_R-y_T|的最小值即可．

解答：解：（ I）∵曲线弧C上任一点P满足：|PF1|+|PF2|=2

2

，
∴由椭圆的定义知，曲线C是以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点的半椭圆，
且：c=1 ，  a=

2

 ，  b2=a2-c2=1．
∴曲线弧C的方程为

x2

2

+y2=1 (y＞0)．
（注：不写条件“y＞0”应扣分）
（ II）由（I）知，曲线C的方程为

x2

2

+y2=1 (y＞0)，设P（x₀，y₀），
则有

x

2 0

+2

y

2 0

=2，即 

y 2 0

x 2 0 -2

=-

1

2

①；
又A(-

2

 ， 0)，B(

2

 ， 0)，从而直线AP，BP的方程为
AP：y=

y0

x0+ 2

(x+

2

)；   BP：y=

y0

x0- 2

(x-

2

)；
令x=a得R，T的纵坐标分别为yR=

y0

x0+ 2

(a+

2

)；      yT=

y0

x0- 2

(a-

2

)．
∴yR•yT=

y 2 0

x 2 0 -2

(a2-2)②；
将①代入②，得 yRyT=

1

2

(2-a2)．
∴|RT|=|yR-yT|=

y 2 R + y 2 T -2yRyT

≥

2|yRyT|-2yRyT

=

2(a2-2)

．
当且仅当|y_R|=|y_T|，即y_R=-y_T时，取等号．
即|RT|的最小值是

2(a2-2)

．

点评：本题考查了椭圆的定义与标准方程以及直线与圆锥曲线的问题，是易错题．