Question

如图，在x轴上方有一段曲线弧Γ，其端点A、B在x轴上（但不属于Γ），对Γ上任一点P及点F₁（-1，0），F₂（1，0），满足：|PF1|+|PF2|=2

2

．直线AP，BP分别交直线l：x=2于R，T两点．
（1）求曲线弧Γ的方程；
（2）设R，T两点的纵坐标分别为y₁，y₂，求证：y₁y₂=-1；
（3）求|RT|的最小值．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的定义，曲线Γ是以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点的半椭圆，由此能求出Γ的方程．
（2）解法1：由曲线Γ的方程为

x2

2

+y2=1 (y＞0)，设P（x₀，y₀，知x₀²+2y₀²=2，

y 2 0

x 2 0 -2

=-

1

2

．由A(-

2

 ， 0)，B(

2

 ， 0)，知AP：y=

y0

x0+ 2

(x+

2

)；BP：y=

y0

x0- 2

(x-

2

)．由此能证明y₁y₂=-1．
解法2：设P（m，n），R（2，y₁），T（2，y₂），则由A，P，R三点共线，得

y1

2+ 2

=

n

m+ 2

．同理，由B，P，T三点共线得：

y2

2- 2

=

n

m- 2

．所以

y1y2

2

=

n2

m2-2

．由此能证明y₁y₂=-1．
（3）由|RT|=|y1-y2|=

y 2 1 + y 2 2 -2y1y2

≥

2|y1y2|-2y1y2

=2，知|RT|的最小值是2．

解答：解：（1）由椭圆的定义，曲线Γ是以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点的半椭圆，c=1 ，  a=

2

 ，  b2=a2-c2=1．（2分）
∴Γ的方程为

x2

2

+y2=1 (y＞0)．（4分）
（注：不写区间“y＞0”扣1分）
（2）解法1：由（1）知，曲线Γ的方程为

x2

2

+y2=1 (y＞0)，设P（x₀，y₀），
则有x₀²+2y₀²=2，即

y 2 0

x 2 0 -2

=-

1

2

①（6分）
又A(-

2

 ， 0)，B(

2

 ， 0)，从而直线AP，BP的方程为
AP：y=

y0

x0+ 2

(x+

2

)；BP：y=

y0

x0- 2

(x-

2

)．（7分）
令x=2得R，T的纵坐标分别为y1=

y0

x0+ 2

(2+

2

)；y2=

y0

x0- 2

(2-

2

)．
∴y1•y2=

2 y 2 0

x 2 0 -2

②（9分）
将①代入②，得y₁y₂=-1．（10分）
解法2：设P（m，n），R（2，y₁），T（2，y₂），则由A，P，R三点共线，得

y1

2+ 2

=

n

m+ 2

①
同理，由B，P，T三点共线得：

y2

2- 2

=

n

m- 2

②（6分）
由①×②得：

y1y2

2

=

n2

m2-2

．（8分）
由

m2

2

+n2=1?n2=1-

m2

2

，代入上式，

y1y2

2

=

1- m2 2

m2-2

=-

1

2

即y₁y₂=-1．（10分）
（3）由（2）得：|RT|=|y1-y2|=

y 2 1 + y 2 2 -2y1y2

≥

2|y1y2|-2y1y2

=2
当且仅当|y₁|=|y₂|，即y₁=-y₂时，取等号．（13分）
即|RT|的最小值是2．（14分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．