Question

已知m=(

3

2

cosx，1+cosx)，n=(2sinx，1-cosx)，x∈R，函数f（x）=

m

•

n

．
（I）求f（

π

3

）的值；   
（II）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）求f（x）在区间[0，

5π

12

]上的最值．

Answer 1

分析：（I）根据向量数量积的坐标公式，结合三角函数的降次公式和辅助角公式，得f（x）=

m

•

n

=

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，代入x=

π

3

即可得到f（

π

3

）的值；
（II）根据函数y=sinx的单调区间的公式，令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，解得-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，可得函数f（x）的单调增区间；
（III）根据x∈[0，

5π

12

]，可以计算出2x-

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，再结合正弦函数的图象可得0≤sin（2x-

π

6

）+

1

2

≤

3

2

，由此可得f（x）在区间[0，

5π

12

]上的最值小值和最大值．

解答：解：（I）根据题意，得f（x）=

m

•

n

=

3

2

cosx•2sinx+（1+cosx）（1-cosx）
=

3

2

sin2x+1-cos²x=

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

=sin（2x-

π

6

）+

1

2

∴f（

π

3

）=sin（

2π

3

-

π

6

）+

1

2

=1+

1

2

=

3

2

（II）令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，（其中k是整数）
可得-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ
∴函数f（x）的单调增区间为（-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ）．（k∈Z）
（III）∵x∈[0，

5π

12

]
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，可得-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1
因此0≤sin（2x-

π

6

）+

1

2

≤

3

2

，f（x）在区间[0，

5π

12

]上的最值小值为0，最大值为

3

2

点评：本题以向量的数量积为载体，要求对三角函数式进行化简，并求函数的值域与最值，着重考查了三角函数中的恒等变换应用和三角函数的图象与性质的知识点，属于中档题．