Question

已知

m

=（asinx，cosx），

n

=（sinx，bsinx），其中，a，b，c∈R，函数f(x)=

m

•

n

，且f(

π

6

)=f(

3π

2

)=2．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）解x的方程f（x）=3．

Answer 1

分析：（I）利用两个向量的数量积公式求得f（x）=asin²x+bsinxcosx，再由 f(

π

6

)=f(

3π

2

)=2可得

asin2 π 6 + bsin π 6 cos π 6 =2 asin2 3π 2 +bsin 3π 2 cos 3π 2 =2

，求出a、b的值，即可得到函数f（x）的解析式．
（II）关于x的方程f（x）=3，根据两角和的正弦公式、二倍角公式化简方程为sin（2x-

π

6

）=1，从而得到 2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z，由此求得方程的解．

解答：解：（I）由题意可得 函数f（x）=（asinx，cosx）•（sinx，bsinx）=asin²x+bsinxcosx，
再由 f(

π

6

)=f(

3π

2

)=2可得

asin2 π 6 + bsin π 6 cos π 6 =2 asin2 3π 2 +bsin 3π 2 cos 3π 2 =2

∴

a=2 b=2 3

∴f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx．
（II）关于x的方程f（x）=3，即 2sin²x+2

3

sinxcosx=3，即

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=1，即 sin（2x-

π

6

）=1，
故 2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z，解得 x=kπ+

π

3

，k∈z．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，两角和的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题．