Question

已知m=(

3

2

cosx，1+cosx)，n=(2sinx，1-cosx)，x∈R，函数f（x）=

m

•

n

．
（I）求f（

π

3

）的值；   
（II）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）求f（x）在区间[0，

5π

12

]上的最值．

Answer 1

（I）根据题意，得f（x）=

m

•

n

=

3

2

cosx•2sinx+（1+cosx）（1-cosx）
=

3

2

sin2x+1-cos²x=

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

=sin（2x-

π

6

）+

1

2

∴f（

π

3

）=sin（

2π

3

-

π

6

）+

1

2

=1+

1

2

=

3

2

（II）令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，（其中k是整数）
可得-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ
∴函数f（x）的单调增区间为（-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ）．（k∈Z）
（III）∵x∈[0，

5π

12

]
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，可得-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1
因此0≤sin（2x-

π

6

）+

1

2

≤

3

2

，f（x）在区间[0，

5π

12

]上的最值小值为0，最大值为

3

2