Question

已知

m

=(sin

x

3

，cos

x

3

)（x∈R），

n

=(

3

，-1)，且f(x)=

m

•

n

．
求：
（1）f(

5π

4

)的值；
（2）若A，B，C为△ABC的三个内角，A，B为锐角，且f(3A+

π

2

)=

10

13

，f(3B+2π)=

6

5

，求cosC的值．

Answer 1

分析：先利用向量数量积运算的性质，求函数f（x）的解析式，再利用两角差的正弦公式，将函数化为y=Asin（ωx+φ）型函数，
（1）将x=

5π

4

代入函数解析式，利用特殊角三角函数值即可得f(

5π

4

)的值；
（2）先将已知函数值进行化简，得角A、B的三角函数值，再利用两角和的余弦公式代入求值即可

解答：解：f(x)=

m

•

n

=

3

sin

x

3

-cos

x

3

=2(

3

2

sin

x

3

-

1

2

cos

x

3

)=2sin(   

x

3

-

π

6

)．
（1）f(

5π

4

)=2sin(

5π 4

3

-

π

6

)=2sin

π

4

=

2

．
（2）∵f(3A+

π

2

)=2sin( 

3A+ π 2

3

-

π

6

)=2sinA=

10

13

，f(3B+2π)=2sin( 

3B+2π

3

-

π

6

)=2sin(B+

π

2

)=2cosB=

6

5

，
∴sinA=

5

13

，cosB=

3

5

．
∵A，B为锐角，∴cosA=

12

13

，sinB=

4

5

．
∴cosC=cos（π-A-B）=-cos（A+B）=-coaAcosB+sinAsinB=-

12

13

×

3

5

+

5

13

×

4

5

=-

16

65

点评：本题主要考查了向量数量积的运算性质，两角和差的三角公式的运用，y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，属基础题