题目内容

已知定点A（1，0）和定直线x=-1上的两个动点E、F，满足 $数学公式$ ，动点P满足 $数学公式$ ， $数学公式$ （其中O为坐标原点）．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点B（0，2）的直线l与（1）中轨迹C相交于两个不同的点M、N，若 $数学公式$ ，求直线l的斜率的取值范围．

解：（1）设P（x，y），E（-1，y₁），F（-1，y₂）（y₁、y₂均不为0）
由 $\text{[math]}$ 得y₁=y，即E（-1，y）
由FO∥OP得 $\text{[math]}$ ，即F（-1，- $\text{[math]}$ ）
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴（-2，y₁）•（2，y₂）=0
∴y₁y₂=-4，∴y²=4x（x≠0）
∴动点P的轨迹C的方程为y²=4x（x≠0）
（2）设直线l的方程y=kx+2（k≠0），M（ $\text{[math]}$ ），N（ $\text{[math]}$ ）
联立得 $\text{[math]}$ 消去x得ky²-4y+8=0
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且△=16-32k＞0即k＜ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ ）=（ $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ ）+y₁y₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，∴-12＜k＜0，满足k＜ $\text{[math]}$ ，
∴-12＜k＜0．
分析：（1）用坐标表示出 $\text{[math]}$ 的坐标，利用 $\text{[math]}$ 即得动点P的轨迹方程；
（2）设出直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及 $\text{[math]}$ ，利用数量积公式，即可求得直线l的斜率的取值范围．
点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．