Question

（2012•闸北区一模）椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F₁，F₂，过F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列．
（1）求证：|AB|=

4

3

a；
（2）若直线l的斜率为1，且点（0，-1）在椭圆C上，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的性质，结合椭圆的定义，即可证得结论；
（2）设出椭圆的方程，直线方程与椭圆方程联立，计算|AB|，利用（1）的结论，即可求得椭圆的标准方程．

解答：（1）证明：由题设，∵|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列，∴2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，
由椭圆定义|AB|+|AF₂|+|BF₂|=4a，…（4分）
所以，|AB|=

4

3

a．…（2分）
（2）解：由点（0，-1）在椭圆C上，可设椭圆C的方程为

x2

a2

+y2=1(a＞1)，…（2分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F₁（-c，0），l：x=y-c，代入椭圆C的方程，整理得（a²+1）y²-2cy-1=0，（*）    …（2分）
则|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=2(y1-y2)2=2[(y1+y2)2-4y1y2]=2[(

2c

a2+1

)2+

4

a2+1

]=

2

(a2+1)2

4[c2+a2+1]=

8

(a2+1)2

•2a2，
于是有

4

3

a=

4

a2+1

•a，…（4分）
解得a=

2

，故椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．       …（2分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，解题的关键是利用椭圆的定义求弦长．