Question

如图，D是△ABC的中点，

AE

=λ1

EC

，

BF

=λ2

FC

，

AE

=λ1

EC

，

DP

=λ

PC

，
则λ₁+λ₂=2λ．

Answer 1

分析：法1  设

EP

=μ

PF

，则又

CP

=

1

1+λ

CD

=

1

2(1+λ )

CA

+

1

2(1+λ)

CB

，利用向量相等，从而得出λ₁+λ₂=2λ．
法2  作如图所示的辅助线，其中AM∥DP∥BN，则λ1+λ2=

AM

PC

+

BN

PC

=

2DP

PC

=2λ．

解答：证明1  设

EP

=μ

PF

，则

CP = 1 1+μ CE + μ 1+μ CF = 1 (1+μ)(1+λ1) CA + μ (1+μ)(1+λ2) CB

，
又

CP

=

1

1+λ

CD

=

1

2(1+λ )

CA

+

1

2(1+λ)

CB

，
∴

1

(1+μ)(1+λ1)

=

1

2(1+λ)

，

μ

(1+μ)(1+λ2)

=

1

2(1+λ)

，
则

(1+λ1)+(1+λ2)

2(1+λ)

=

1

1+μ

+

μ

1+μ

=1，
∴λ₁+λ₂=2λ．
证明2  作如图所示的辅助线，其中AM∥DP∥BN，
则λ1+λ2=

AM

PC

+

BN

PC

=

2DP

PC

=2λ．

点评：本小题主要考查向量在几何中的应用、向量的数乘运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．