Question

16．已知函数f（x）=kx+m，当x∈[a₁，b₁]时，f（x）的值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时，f（x）的值域为[a₃，b₃]，依此类推，一般地，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）的值域为[a_n，b_n]，其中k、m为常数，且a₁=0，b₁=1．
（1）若k=1，求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若m=2，问是否存在常数k＞0，使得数列{b_n}满足$\underset{lim}{n→∞}$b_n=4？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；
（3）若k＜0，设数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，求（T₁+T₂+…+T₂₀₁₄）-（S₁+S₂+…+S₂₀₁₄）．

Answer 1

分析 （1）由f（x）递增，可得值域，进而得到a_n=a_n-1+m，b_n=b_n-1+m（n≥2），由等差数列的通项公式，即可得到所求；
（2）由单调性求得f（x）的值域，m=2，则b_n=kb_n-1+2（n≥2），再由b_n+$\frac{2}{k-1}$=k（b_n-1+$\frac{2}{k-1}$）（n≥2），运用等比数列的定义和通项公式，即可得到结论；
（3）运用函数的单调性，可得f（x）的值域，由作差，运用等比数列的定义和通项公式，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求．

解答 解：（1）因为f（x）=x+m，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）为递增函数，
所以其值域为[a_n-1+m，b_n-1+m]，
于是a_n=a_n-1+m，b_n=b_n-1+m（n≥2），
又a₁=0，b₁=1，则a_n=（n-1）m，b_n=1+（n-1）m；
（2）因为f（x）=kx+m，（k＞0），当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）单调递增，
所以f（x）的值域为[ka_n-1+m，kb_n-1+m]，
由m=2，则b_n=kb_n-1+2（n≥2）；
法一：假设存在常数k＞0，使得数列{b_n}，得4=4k+2，则k=$\frac{1}{2}$符合．
法二：假设存在常数k＞0，使得数列{b_n}满足$\underset{lim}{n→∞}$b_n=4，当k=1不符合．
当k≠1时，b_n=kb_n-1+2，n≥2?b_n+$\frac{2}{k-1}$=k（b_n-1+$\frac{2}{k-1}$）（n≥2），
则b_n=（1+$\frac{2}{k-1}$）k^n-1-$\frac{2}{k-1}$，
当0＜k＜1时，$\underset{lim}{n→∞}$b_n=$\frac{2}{1-k}$=4，解得k=$\frac{1}{2}$符合，
（3）因为k＜0，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）为递减函数，
所以f（x）的值域为[kb_n-1+m，ka_n-1+m]，
于是a_n=kb_n-1+m，b_n=ka_n-1+m，n≥2，
则b_n-a_n=-k（b_n-1-a_n-1），
因此{b_n-a_n}是以-k为公比的等比数列，
又b₁-a₁=1则有T_i-S_i=$\left\{\begin{array}{l}{i，k=-1}\\{\frac{1-（-k）^{i}}{1+k}，k＜0，k≠-1}\end{array}\right.$，
进而有（T₁+T₂+…+T₂₀₁₄）-（S₁+S₂+…+S₂₀₁₄）=$\left\{\begin{array}{l}{2029105，K=-1}\\{\frac{2014+2015k+{k}^{2015}}{（1+k）^{2}}，k＜0，k≠-1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等差（比）数列的定义和通项公式的运用，考查存在性问题的解法，注意无穷递缩等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．