Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）若曲线与曲线在公共点处有共同的切线，求实数的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问函数是否有零点？如果有，求出该零点；若没有，请说明理由.

Answer 1

【答案】（I）；（II）无零点.

【解析】试题分析：（Ⅰ）设曲线与曲线公共点为则由，，即可求的值；

（Ⅱ）函数是否有零点，转化为函数与函数在区间是否有交点，求导根据函数单调性可知最小值为，最大值为，从而无零点

试题解析：

（Ⅰ）函数的定义域为，，

设曲线与曲线公共点为

由于在公共点处有共同的切线，所以，解得，.

由可得.

联立解得.

（Ⅱ）函数是否有零点，

转化为函数与函数在区间是否有交点，

，可得，

令，解得，此时函数单调递增；

令，解得，此时函数单调递减.

∴当时，函数取得极小值即最小值，.

可得，

令，解得，此时函数单调递增；

令，解得，此时函数单调递减.

∴当时，函数取得极大值即最大值，.

因此两个函数无交点.即函数无零点.