Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，．

（1）求证：；

（2）若分别为的中点，平面，求直线与平面所成角的大小．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】试题分析：本题主要考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，利用线面垂直的判定定理，先证出平面，利用线面垂直的性质定理得，在中再证明；第二问，先证明两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再求直线与平面所成角的正弦值，最后确定角.

试题解析：（1）连接，，，交于点，

因为底面是正方形，

所以且为的中点.

又

所以平面，

由于平面,故.

又,故.

解法1：

设的中点为,连接,∥=,

所以为平行四边形，∥，

因为平面，

所以平面，

所以,的中点为,

所以.

由平面，又可得，

又，又

所以平面

所以,又,

所以平面

（注意：没有证明出平面，直接运用这一结论的，后续过程不给分）

由题意,两两垂直， ,以为坐标原点,向量的方向为轴轴轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则

为平面的一个法向量.

设直线与平面所成角为，

所以直线与平面所成角为.

解法2：设的中点为,连接,则∥=,

所以为平行四边形，∥，

因为平面，

所以平面，

所以,

的中点为,所以.

同理，又，又

所以平面

所以,又,

所以平面

连接、，设交点为，连接，设的中点为，连接，

则在三角形中，∥，所以平面，

又在三角形中，∥，

所以即为直线与平面所成的角.

又,,

所以在直角三角形中,,

所以,直线与平面所成的角为.