Question

【题目】已知函数，其中．

（Ⅰ）函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数a，若不能，请说明理由；

（Ⅱ）求最大的整数，使得对任意，不等式

恒成立．

Answer 1

【答案】（1）不能（2）

【解析】试题分析：

（Ⅰ）假设函数的图象能与轴相切．设切点为，根据导数的几何意义得到关于的方程，然后判断此方程是否有解即可得到结论．（Ⅱ）将不等式变形为,设，则问题等价于对任意恒成立，故只需函数在R上单调递增，因此在R上恒成立即可，由可得

，即为成立的必要条件，然后再证时，即可得到结论．

试题解析：

（Ⅰ）∵，

∴．

假设函数的图象与轴相切于点，

则有， 即．

显然，将代入方程中可得．

∵，

∴方程无解．

故无论a取何值，函数的图象都不能与轴相切．

（Ⅱ）由题意可得原不等式可化为，

故不等式在R上恒成立．

设，则上式等价于，

要使对任意恒成立，

只需函数在上单调递增，

∴在上恒成立．

则，解得，

∴在上恒成立的必要条件是：．

下面证明：当时，恒成立．

设，则，

当时，，单调递减；当时，，单调递增．

∴，即．

则当时，，；

当时，，．

∴恒成立．

所以实数的最大整数值为3．