Question

下列命题中是真命题的个数是（　　）
①?α，β∈R，sin（α+β）≠sinα+sinβ
②命题p：?x∈R，x²+x+1=0，则命题?p：?x∈R，x²+x+1≠0；
③?ϕ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数
④?a＞0，a≠1，函数f（x）=log_ax与y=a^x的图象有三个交点．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质,简易逻辑

分析：①取α=2kπ（k∈Z）满足sin（α+β）=sinα+sinβ．
②由非命题的意义即可得出；
③取ϕ=kπ+

π

2

（k∈Z），函数f（x）=±cos2x是偶函数；
④当a∈（0，e^-e）时，函数f（x）=log_ax与y=a^x的图象有三个交点．

解答： 解：①?α，β∈R，sin（α+β）≠sinα+sinβ，不正确，
因为取α=2kπ（k∈Z）满足sin（α+β）=sinα+sinβ．
②命题p：?x∈R，x²+x+1=0，由非命题的意义可得：?p：?x∈R，x²+x+1≠0，正确；
③取φ=kπ+

π

2

（k∈Z），函数f（x）=sin（2x+φ）=±cos2x是偶函数，因此③不正确；
④?a＞0，a≠1，函数f（x）=log_ax与y=a^x的图象有三个交点．
关于方程log_ax=a^x的解由以下结论：当a∈（0，e^-e）时，方程有三个实数根；当a∈[e^-e，1）或a=e

1

e

时，有1个实数根；当a∈(1，e

1

e

)时，有两个实数根；当a＞e

1

e

时，无实数根．
据此可知：?a＞0，a≠1，函数f（x）=log_ax与y=a^x的图象有三个交点，正确．
综上可知：只有②④是真命题．
故答案为：②④．

点评：本题综合考查了简易逻辑的有关知识、三角函数与指数函数对数函数的性质，属于难题．