Question

17．已知函数f（x）=2sin²（x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{3}$cos2x，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=1+2sin（2x-$\frac{π}{3}$），由已知可求范围$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，利用正弦函数的性质即可得解其值域．
（Ⅱ）由已知去绝对值可得：f（x）-2＜m＜f（x）+2，解不等式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin²（x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{3}$cos2x
=[1-cos（$\frac{π}{2}$+2x）]-$\sqrt{3}$cos2x
=1+sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
=1+2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
又∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，
∴$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，即2≤1+2sin（2x-$\frac{π}{3}$）≤3，
∴f（x）∈[2，3]．
（Ⅱ）∵|f（x）-m|＜2，可得：f（x）-2＜m＜f（x）+2，
又∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，
∴m＞f（x）_max-2且m＜f（x）_min+2，
∴1＜m＜4，即m的取值范围是（1，4）．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，不等式的解法及其应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．