Question

2．已知数列{a_n}中，a₁=1，其前n项的和为S_n，且满足a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2）．
（1）求证：数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列；
（2）证明：当n≥2时，S₁+$\frac{1}{2}$S₂+$\frac{1}{3}$S₃+…+$\frac{1}{n}$S_n＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，S_n-S_n-1=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$⇒S_n-S_n-1=2S_n•S_n-1（n≥2），取倒数，可得$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，利用等差数列的定义即可证得：数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列；
（2）由（1）可知，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{S}_{1}}$+（n-1）×2=2n-1⇒S_n=$\frac{1}{2n-1}$．n≥2时，$\frac{1}{n}$$\frac{1}{n（2n-1）}$＜$\frac{1}{n（2n-2）}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），从而可证当n≥2时，S₁+$\frac{1}{2}$S₂+$\frac{1}{3}$S₃+…+$\frac{1}{n}$S_n＜$\frac{3}{2}$．

解答 （本题满分12分）
证明：（1）当n≥2时，S_n-S_n-1=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$，
整理得：S_n-S_n-1=2S_n•S_n-1（n≥2），
$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，从而{$\frac{1}{{S}_{n}}$}构成以1为首项，2为公差的等差数列．-------（6分）
（2）由（1）可知，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{S}_{1}}$+（n-1）×2=2n-1，
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$．
∴当n≥2时，$\frac{1}{n}$$\frac{1}{n（2n-1）}$＜$\frac{1}{n（2n-2）}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
∴S₁+$\frac{1}{2}$S₂+$\frac{1}{3}$S₃+…+$\frac{1}{n}$S_n＜1+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）＜$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n}$＜$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查数列递推式的应用，考查等差数列的判定，考查等价转化思想，突出裂项法、放缩法应用的考查，属于难题．