Question

在△ABC中，已知AC=3，三个内角A，B，C成等差数列．
（1）若cosC=

6

3

，求AB；    
（2）求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由三个角成等差数列，利用等差数列的性质及内角和定理求出B的度数，根据cosC的值求出sinC的值，再由sinB，AC的长，利用正弦定理即可求出AB的长；
（2）利用余弦定理列出关系式，将AC，cosB的值代入，利用基本不等式求出ac的最大值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出面积的最大值．

解答： 解：（1）∵A，B，C成等差数列，
∴2B=A+C，
又A+B+C=π，
∴B=

π

3

，
∵cosC=

6

3

，
∴sinC=

1-cos2C

=

3

3

，
则由正弦定理

AB

sinC

=

AC

sinB

得：AB=

3× 3 3

3 2

=2；
（2）设角A，B，C的对边为a，b，c，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即9=a²+c²-ac，
∴a²+c²=9+ac≥2ac，即ac≤9，
∴S_△ABC=

1

2

ac•sinB≤

9 3

4

，
则△ABC面积的最大值为

9 3

4

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．