Question

已知函数f（x）=sin

x

2

cos

x

2

-cos²

x

2

+

1

2

，x∈R
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若已知cos（β-α）=

4

5

，cos（β+α）=-

4

5

，（0＜α＜β≤

π

2

）求f（β+

π

4

）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）直接利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后求解函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）通过cos（β-α）=

4

5

，cos（β+α）=-

4

5

，利用两角和与差的余弦函数，结合（0＜α＜β≤

π

2

）求出β，即可求f（β+

π

4

）的值．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=sin

x

2

cos

x

2

-cos²

x

2

+

1

2

=

1

2

sinx-

1+cosx

2

+

1

2

=

2

2

sin(x-

π

4

)，∴T=2π．
（Ⅱ）cos（β-α）=cosαcosβ+sinαsinβ=

4

5

，…①．
cos（β+α）=cosαcosβ-sinαsinβ=-

4

5

，…②．
∴cosαcosβ=0，
∵0＜α＜β≤

π

2

，
∴β=

π

2

，
∴f（β+

π

4

）=

2

2

sin(

π

2

+

π

4

-

π

4

)=

2

2

．

点评：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，函数的周期以及三角函数值的求法，考查计算能力．