Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，侧面PBC是直角三角形，∠PCB=90°，点E是PC的中点，且平面PBC⊥平面ABCD．
求证：
（1）AP∥平面BED；
（2）BD⊥平面APC．

Answer 1

分析 （1）取AC，BD的交点O，连结OE，根据中位线定理得出OE∥AP，故而AP∥平面BDE；
（2）由平面PBC⊥平面ABCD得出PC⊥平面ABCD，故而PC⊥BD，由菱形性质得出BD⊥AC，即可证明BD⊥平面PAC．

解答 解：（1）设AC∩BD=O，连结OE．因为ABCD是菱形，
所以O为AC的中点．
又因为点E是PC的中点，
所以OE是△APC的中位线．
所以AP∥OE．
又OE?平面BED，AP?平面BED，
所以AP∥平面BED．
注：不写条件OE?平面BED，AP?平面BED，各扣 1 分．
（2）因为平面PBC⊥平面ABCD，PC?平面PBC，平面PBC∩平面ABCD=BC，PC⊥BC，
所以PC⊥平面ABCD，
所以PC⊥BD．
因为底面ABCD是菱形，
所以BD⊥AC．
又AC∩PC=C，
所以BD⊥平面APC．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的性质与判定，考查了数形结合思想和空间想象能力以及推理论证能力，属于中档题．