Question

18．如图所示，已知圆O₁与圆O₂相交于A，B两点，过点A作圆O₁的切线交圆O₂于点C，过点B作两圆的割线，分别交圆O₁，圆O₂于点D，E，DE与AC相交于点P．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AD是圆O₂的切线，且PA=3，PC=1，AD=6，求DB的长．

Answer 1

分析 （1）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；
（II）根据切割线定理得到AD²=DB•DE，利用AD是圆O₂的切线，AD²=DB•DE，由此即可求DB的长．

解答 （1）证明：连接AB，
∵AC是圆O₁的切线，∴∠BAC=∠D，
又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC
（2）解：设PB=x，PE=y，
∵PA=3，PC=1，∴xy=3①，
∵AD∥EC，∴$\frac{AP}{PC}=\frac{DP}{PE}=3$，且DP=3y 
由AD是圆O₂的切线，∴AD²=DB•DE，∴6²=（3y-x）4y②
由①②可得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=2}\end{array}\right.$，∴BD=3y-x=$\frac{9}{2}$

点评 此题是一道综合题，要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题．本题的突破点是辅助线的连接．