Question

已知数列{a_n}满足a₁=

1

2

，且a_n+1=

an

3an+1

（n∈N₊）．
（1）证明数列{

1

an

}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_na_n+1（n∈N₊），数列{b_n}的前n项和记为T_n，证明：T_n＜

1

6

．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由

1

an+1

=

3an+1

an

=

1

an

+3，利用定义能证明{

1

an

}是首项为2，公差为3的等差数列．从而求出an=

1

3n-1

．
（2）b_n=a_na_n+1=

1

(3n-1)(3n+2)

=

1

3

(

1

3n-1

-

1

3n+2

)，由此利用裂项求和法能证明T_n＜

1

6

．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}满足a₁=

1

2

，且a_n+1=

an

3an+1

（n∈N₊），
∴

1

an+1

=

3an+1

an

=

1

an

+3，
∴

1

an+1

-

1

an

=3，又

1

a1

=2，
∴{

1

an

}是首项为2，公差为3的等差数列．
∴

1

an

=2+（n-1）×3=3n-1，
∴an=

1

3n-1

．
（2）b_n=a_na_n+1=

1

(3n-1)(3n+2)

=

1

3

(

1

3n-1

-

1

3n+2

)，
∴T_n=

1

3

(

1

2

-

1

5

+

1

5

-

1

8

+…+

1

3n-1

-

1

3n+2

)
=

1

3

(

1

2

-

1

3n+2

)
=

1

6

-

1

3(3n+2)

＜

1

6

．
∴T_n＜

1

6

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，注意裂项求和法的合理运用．