Question

【题目】已知函数， .

（1）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；

（2）设函数，若在上存在极值，求的取值范围，并判断极值的正负.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案见解析.

【解析】试题分析：（1）由题意可知 在上恒成立，构造新函数， ，求导根据函数的单调性及极值的判断，即可求得在上单调递增，即可求得的取值范围；
（2） 若在上存在极值，则或，分类讨论，分别构造新函数，根据导数与函数的关系，即可求得的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）由，得．即在上恒成立

设函数， ．则．

设．则．易知当时， ．

∴在上单调递增，且．即对恒成立．

∴在上单调递增．

∴当时， ．

∴，即的取值范围是．

（Ⅱ）， ．

∴ ．

设，则．

由，得．

当时， ；当时， ．

∴在上单调递增，在上单调递减．

且， ， ．

显然．

结合函数图象可知，若在上存在极值，

则或．

（ⅰ）当，即时，

则必定，使得，且．

当变化时， ， ， 的变化情况如下表：

	-	0	+	0	-
	-	0	+	0	-
	↘	极小值	↗	极大值	↘

∴当时， 在上的极值为，且．

∵ ．

设，其中， ．

∵，∴在上单调递增， ，当且仅当时取等号．

∵，∴．

∴当时， 在上的极值．

（ⅱ）当，即时，

则必定，使得．

易知在上单调递增，在上单调递减．

此时， 在上的极大值是，且．

∴当时， 在上的极值为正数．

综上所述：当时， 在上存在极值，且极值都为正数．

注：也可由，得．令后再研究在上的极值问题．