Question

【题目】已知函数（为常数， 为自然对数的底数），曲线在与轴的交点处的切线斜率为-1.

（1）求的值及函数的单调区间；

（2）证明：当时， ；

（3）证明：当时， .

Answer 1

【答案】（1）， 在区间上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）求出函数的f′（x）=ex﹣a．通过f′（x）=ex﹣2＞0，即可求解函数f（x）在区间（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．

（2）求出f（x）的最小值，化简f（x）≥1﹣ln4．构造g（x）=ex﹣x2﹣1，通过g′（x）＞0．判断g（x）在（0，+∞）上单调递增，得到g（x）＞g（0），推出结果．

（3）首先证明：当x＞0时，恒有．令，则h′（x）=ex﹣x2．推出h（x）在（0，+∞）上单调递增，得到x+ln3＞3lnx．利用累加法推出．

试题解析：

（1）由，得．

又，所以．所以， ．

由，得．

所以函数在区间上单调递减，在上单调递增．

（2）证明：由（1）知．

所以，即， ．

令，则．

所以在上单调递增，所以，即．

（3）首先证明：当时，恒有．

证明如下：令，则．

由（2）知，当时， ，所以，所以在上单调递增，

所以，所以．所以，即．依次取，代入上式，则， ， ．

以上各式相加，有．

所以，

所以，

即．