Question

15．设函数f（x）=x³-6x+5，x∈R
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）的极大值和极小值；
（3）若关于x的方程f（x）=a有三个不同的实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间；
（2）根据函数的单调性求出函数的极值即可；
（3）由（1）（2）的分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向，可知函数图象的变化情况，可知方程f（x）=a有3个不同实根，求得实数a的值．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-6=3（x²-2），
令f′（x）＜0，解得：-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$，
∴函数f（x）的递减区间是（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），递增区间是（-∞，-$\sqrt{2}$）与（$\sqrt{2}$，+∞）；
（2）由（1）得当x=-$\sqrt{2}$时，有极大值5+4$\sqrt{2}$，当x=$\sqrt{2}$时，有极小值5-4$\sqrt{2}$；
（3）由（1）（2）的分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向，
∴当5-4$\sqrt{2}$＜a＜5+4$\sqrt{2}$时，
直线y=a与y=f（x）的图象有3个不同交点，
即方程f（x）=a有三解，
∴5-4$\sqrt{2}$＜a＜5+4$\sqrt{2}$．

点评 考查利用导数研究函数的单调性和图象，体现了数形结合的思想方法．本题是一道含参数的函数、导数与方程的综合题，需要对参数进行分类讨论．属中档题．