Question

2．如图，抛物线C₁：y²=4x的焦点到准线的距离与椭圆C₂：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的长半轴相等，设椭圆的右顶点为A，C₁，C₂在第一象限的交点为B，O为坐标原点，且△OAB的面积为$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．
（1）求椭圆C₂的标准方程；
（2）若过点A作直线l交C₁于C，D两点．
①求证：∠COD恒为钝角；
②射线OC，OD分别交C₂于E，F两点，记△OEF，△OCD的面积分别为S₁，S₂，问是否存在直线l，使得3S₂=13S₁？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）p=2，得椭圆的长半轴a=2，由△OAB的面积为$\frac{1}{2}×2×{y}_{B}$=$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，知B的坐标．代入抛物线能求出椭圆C₂方程．
（2）①设直线l的方程为：x=my+2，与抛物线方程联立，得y²-4my-8=0，利用韦达定理和向量的数量积导出∠COD＞90°，由此能证明结论；
②$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}|OC|•|OD|sin∠COD}{\frac{1}{2}|OE||OF|sin∠EOF}$=$\frac{|{y}_{1}|}{|{y}_{E}|}$•$\frac{|{y}_{2}|}{|{y}_{F}|}$，求出直线OC的方程，与椭圆方程联立，利用3S₂=13S₁，由此能推导出存在直线l使得3S₂=13S₁．

解答 解：（1）抛物线C₁：y²=4x中，p=2，得椭圆的长半轴a=2，
∵△OAB的面积为$\frac{1}{2}×2×{y}_{B}$=$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
∴y_B=$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．
代入抛物线求得B（$\frac{2}{3}$，$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$），
∴椭圆C₂方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）①设直线l的方程为：x=my+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得y²-4my-8=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8，
∴x₁x₂=4，
∴x₁x₂+y₁y₂=-4＜0，
∴∠COD＞90°，
∴∠COD恒为钝角．
②$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}|OC|•|OD|sin∠COD}{\frac{1}{2}|OE||OF|sin∠EOF}$=$\frac{|{y}_{1}|}{|{y}_{E}|}$•$\frac{|{y}_{2}|}{|{y}_{F}|}$，
直线OC的斜率为$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{4}{{y}_{1}}$，
∴直线OC的方程为x=$\frac{{y}_{1}y}{4}$．
与椭圆方程联立，得y_E²=$\frac{64×3}{3{{y}_{1}}^{2}+64}$，y_F²=$\frac{64×3}{3{{y}_{2}}^{2}+64}$，
∴y_E²•y_F²=$\frac{64×{3}^{2}}{121+48m}$，
∴（$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$）²=$\frac{121+48{m}^{2}}{{3}^{2}}$=$\frac{1{3}^{2}}{{3}^{2}}$，
∴m=±1，
∴直线l的方程为：x=±y+2．

点评 本题考查椭圆方程的求法，探索满足条件的直线方程是否存在．综合性强，难度大，对数学思维的要求较高．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理合理运用．