Question

18．设集合M={x|x²+2mx+3m+4＜0}，N={x|y=log₂（5-4x-x²）}；已知M∩N=M，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 根据对数函数的真数大于0，可得集合N，分M为空集和M不为空集两种情况，分别讨论满足条件的实数m的取值范围，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：∵N={x|y=log₂（5-4x-x²）}=（-5，1），
当方程x²+2mx+3m+4=0的△≤0，即m∈[-1，4]时，集合M=∅，满足M∩N=M，
若方程x²+2mx+3m+4=0的△＞0，即m∈（-∞，-1）∪（4，+∞）时，
令f（x）=x²+2mx+3m+4，
若M∩N=M，则$\left\{\begin{array}{l}-m∈（-5，1）\\ f（-5）≥0\\ f（1）≥0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-1＜m＜5\\ 29-7m≥0\\ 5m+5≥0\end{array}\right.$，解得：-1＜m≤$\frac{29}{7}$，
∴m∈（4，$\frac{29}{7}$]，
综上所述，m∈[-1，$\frac{29}{7}$]．

点评 本题考查的知识点是集合的包含关系的判断与应用，二次函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，难度中档．