Question

9．已知函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）．
（1）若f（x₀）=3，求f（2x₀）：
（2）若f（2x²-3x+1）＞f（x²+2x-5），求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用指数幂的运算性质，用f（x₀）表示f（2x₀）；
（2）分0＜a＜1与a＞1两种情况，利用函数的单调性求解不等式．

解答 解：（1）∵f（x）=a^x，
∴f（x₀）=${a}^{{x}_{0}}$=3
∴f（2x₀）=${a}^{2{x}_{0}}$=$（{a}^{{x}_{0}}）^{2}$=3²=9，
（2）①当0＜a＜1时，
函数f（x）=a^x在（-∞，+∞）上为减函数，
∴f（2x²-3x+1）＞f（x²+2x-5）?2x²-3x+1＜x²+2x-5?x²-5x+6＜0?（x-2）（x-3）＜0，解得2＜x＜3；
②当a＞1时，
函数f（x）=a^x在（-∞，+∞）上为增函数，
f（2x²-3x+1）＞f（x²+2x-5）?2x²-3x+1＞x²+2x-5?x²-5x+6＞0?（x-2）（x-3）＞0，解得x＜2或x＞3；
综上：①当0＜a＜1时，x∈（2，3）；
②当a＞1时，x∈（-∞，2）∪（3，+∞）．

点评 本题主要考查指数幂的运算性质，同时考查指数函数的性质，属于中档题．