题目内容
18．集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；
（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．
分析 （Ⅰ）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得3个元件都不能正常工作的概率P1 的值，3个元件中的2个不能正常工作的概率P2 的值，再把P1 和P2相加，即得所求．
（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，$\frac{5}{12}$），求得P（X=100ξ）=P（ξ=k） 的值，可得X的分布列，从而求得X的期望．
解答 解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C，则P（A）=$\frac{1}{2}$，P（B）=$\frac{1}{2}$，P（C）=$\frac{2}{3}$．
依题意，集成电路E需要维修有两种情形：
①3个元件都不能正常工作，概率为P1=P（$\overline{A}$$\overline{B}$$\overline{C}$）=P（$\overline{A}$）P（$\overline{B}$）P（$\overline{C}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{12}$．
②3个元件中的2个不能正常工作，概率为P2=P（A$\overline{B}$$\overline{C}$）+P（$\overline{A}$B$\overline{C}$）+P（$\overline{A}$$\overline{B}$C）
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$．
所以，集成电路E需要维修的概率为P1+P2=$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{12}$．
（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，$\frac{5}{12}$），而X=100ξ，
P（X=100ξ）=P（ξ=k）=${C}_{2}^{K}$•${（\frac{5}{12}）}^{k}$•${（\frac{7}{12}）}^{2-k}$，k=0，1，2．
X的分布列为：
| X | 0 | 100 | 200 |
| P | $\frac{49}{144}$ | $\frac{35}{72}$ | $\frac{25}{144}$ |
点评 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量的分布列，属于中档题．
阅读快车系列答案| A． | 奇函数，且在（0，+∞）上是增函数 | B． | 奇函数，且在（0，+∞）上是减函数 | ||
| C． | 偶函数，且在（0，+∞）上是增函数 | D． | 偶函数，且在（0，+∞）上是减函数 |
如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线的是某零件的三视图，则该零件的体积（单位：cm3）（ ）| A． | 40-5π | B． | 40-$\frac{5π}{2}$ | C． | 40-$\frac{4π}{3}$ | D． | 40-$\frac{2π}{3}$ |