Question

13．设x，y，a∈R^*，且当x+2y=1时，$\frac{3}{x}$+$\frac{a}{y}$的最小值为6$\sqrt{3}$，则当$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=1时，3x+ay的最小值是（　　）

• A． 6$\sqrt{3}$
• B． 6
• C． 12
• D． 12$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题设条件，可在$\frac{3}{x}$+$\frac{a}{y}$上乘以x+2y构造出积为定值的形式，由基本不等式求得$\frac{3}{x}$+$\frac{a}{y}$的最小值为3+2a+2$\sqrt{6a}$，从而得到3+2a+2$\sqrt{6a}$=6$\sqrt{3}$，同理可得当$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=1时，3x+ay 的最小值是3+2a+2$\sqrt{6a}$，即可求得3x+ay 的最小值是6$\sqrt{3}$．

解答 解：由题意x，y，a∈R⁺，且当x+2y=1 时，$\frac{3}{x}$+$\frac{a}{y}$的最小值为6$\sqrt{3}$，
由于$\frac{3}{x}$+$\frac{a}{y}$=（$\frac{3}{x}$+$\frac{a}{y}$）（x+2y）=3+2a+$\frac{6y}{x}$+$\frac{ax}{y}$≥3+2a+2$\sqrt{6a}$，
等号当$\frac{6y}{x}$=$\frac{ax}{y}$时取到．
故有3+2a+2$\sqrt{6a}$=6$\sqrt{3}$，
∴3x+ay=（3x+ay ）（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$）=3+2a+$\frac{ay}{x}$+$\frac{6x}{y}$≥3+2a+2$\sqrt{6a}$=6$\sqrt{3}$，
等号当$\frac{ay}{x}$=$\frac{6x}{y}$时取到．
故选A．

点评 本题考查基本不等式在最值问题中的应用，及构造出积为定值的技巧，解题的关键是由题设条件构造出积为定值的技巧，从而得出3+2a+2$\sqrt{6a}$=6$\sqrt{3}$，本题中有一疑点，即两次利用基本不等式时，等号成立的条件可能不一样，此点不影响利用3+2a+2$\sqrt{6a}$求出3x+ay 的最小值是6$\sqrt{3}$，这是因为3+2a+2$\sqrt{6a}$是一个常数，本题是一个中档题目．