题目内容

8．画出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+5≥0}\\{x+y≥0}\\{x≤3}\end{array}\right.$表示的平面区域，设该平面区域为A，在此条件下解决下面问题：
（1）求A的面积；
（2）设B={（x-y，x+y）|（x，y）∈A}，求B的面积；
（3）求z=3x+y的最值；
（4）求z=x2+（y+1）2的最小值；
（5）求z=$\frac{y+1}{x+1}$的值域；
（6）求z=ax+y（a＞1）的最大值．

分析 （1）作出不等式组对应的平面区域求出交点坐标，即可求A的面积；
（2）设m=x-y，n=x+y，转化为关于m，n的不等式组即可求B的面积；
（3）利用直线的截距，即可求z=3x+y的最值；
（4）根据点到直线的距离公式即可求z=x2+（y+1）2的最小值；
（5）根据两点间的斜率关系即可求z=$\frac{y+1}{x+1}$的值域；
（6）根据直线的截距和z的关系即可求z=ax+y（a＞1）的最大值．

解答 解：（1）作出不等式组对应的平面区域如图，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+5}\\{x=3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=8}\end{array}\right.$，即A（3，8），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{x+y=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-3}\end{array}\right.$，即C（3，-3），
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+5=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{5}{2}}\\{y=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，即B（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$），
则|AC|=8-（-3）=11，B到直线x=3的距离d=3-（-$\frac{5}{2}$）=$\frac{11}{2}$，
则A的面积S=$\frac{1}{2}×11×\frac{11}{2}=\frac{121}{4}$；
（2）设B={（x-y，x+y）|（x，y）∈A}，求B的面积；
设m=x-y，n=x+y，
则x=$\frac{m+n}{2}$，y=$\frac{n-m}{2}$，
代回不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+5≥0}\\{x+y≥0}\\{x≤3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{m+5≥0}\\{n≥0}\\{\frac{m+n}{2}≤3}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m≥-5}\\{n≥0}\\{m+n≤6}\end{array}\right.$，对应的平面区域为：
其中G（6，0），F（-5，0），E（-5，11），
则GF=6-（-5）=11，EF=11，
则三角形EFG的面积S=$\frac{1}{2}×11×11$=$\frac{121}{2}$．
（3）由z=3x+y，得y=-3x+z，
平移直线y=-3x+z（黑线），由图象可知当直线y=-3x+z，经过点A时，直线y=-3x+z的截距最大，
此时z最大为z=3×3+8=9+8=17，
平移直线y=-3x+z，由图象可知当直线y=-3x+z，经过点B时，直线y=-3x+z的截距最小，
此时z最小为z=3×（-$\frac{5}{2}$）+$\frac{5}{2}$=-5．
（4）z=x2+（y+1）2的几何意义为区域内的点到定点E（0，-1）的距离，
由图象知E到BC的距离最小，此时距离d=$\frac{|1|}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
则z的最小值为z=d2=$\frac{1}{2}$；
（5）z=$\frac{y+1}{x+1}$的几何意义为区域内的点到点F（-1，-1）的斜率（红线），
BF的斜率k=$\frac{\frac{5}{2}+1}{-\frac{5}{2}+1}$=-2，CF的斜率k=$\frac{-3+1}{3+1}=-\frac{1}{2}$，
故z$≥-\frac{1}{2}$或z≤-2，
即z的值域为{z|z$≥-\frac{1}{2}$或z≤-2}；
（6）由z=ax+y（a＞1）得y=-ax+z，则斜率k=-a＜-1．
平移直线y=-ax+z，由图象知当直线y=-ax+z经过点A时直线的截距最大，此时z最大为z=3a+11．

点评 本题主要考查线性规划的应用，涉及目标函数的几何意义，结合直线的截距，两点间的斜率，以及距离公式是解决本题的关键．综合性较强．

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